GRADIENTE
Entonces, si caminas en la dirección del gradiente, estarás subiendo directamente hasta la cima. De manera similar, la magnitud del vector te dice cuál es la pendiente de la colina en esa dirección.
Se llama gradiente en un punto de una función real de varias variables reales al conjunto ordenado de las derivadas parciales de esa función en ese punto. Por tanto, el gradiente de una función f(x, y, z) en el punto ( x0, y0, z0) es:
Cada derivada parcial en el punto ( x0, y0, z0) se llama componente del gradiente en ese
punto.
La derivada en un punto de una función real de variable real informa de lo que varía la
función por cada unidad que varía la variable independiente en ese punto. La misma
información da el gradiente con cada una de sus componentes: informa de lo que varía
la función por cada unidad que varía cada variable en el punto que se considere.
El gradiente de la función f en cualquier punto (x, y, z) se designa por:
ROTACIONAL
Es un vector que indica cuán curvadas están las lineas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Un rotacional igual a cero en un punto dado, significa que en esa región las lineas de campo son rectas (aunque no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirse simétricamente si existe divergencia en ese punto)
Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las lineas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.
Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las lineas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.
Sea F = (P,Q,R) un campo vectorial definido en un abierto
Ω ⊆ R
3 y diferenciable en un punto a ∈ Ω. Del mismo modo que la divergencia divF(a) se
obtiene como el producto escalar simbólico ∇.F(a), podemos pensar en el producto vectorial,
también simbólico, ∇ ×F(a). El vector que así se obtiene es, por definición, el rotacional del
campo F en el punto a y se denota también por rot F(a). Así pues:
Cuando F sea diferenciable en todo el abierto Ω podremos escribir:
DIVERGANCIA
Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Es un vector que indica en qué dirección las lineas de campo se encuentran más separadas entre sí, o sea la dirección hacia donde disminuye la densidad de lineas de campo por unidad de volumen. El módulo de la divergencia indica cuánto disminuye dicha densidad. La divergencia puede ser alta aunque el valor del campo sea muy bajo en ese punto.
Una divergencia elevada indica que en esa zona el campo se está "abriendo" como los rayos de luz que emergen de una fuente puntual. Una divergencia nula indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo, aunque el tubo sea curvo y todo el flujo esté rotando uniformemente.
Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω ⊆ R n y consideremos sus coordenadas F= (F1,F2,...,Fn). Supongamos que F es diferenciable en un punto a ∈ Ω, lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares Fk, con k = 1,2,...,n, sean diferenciables en el punto a. De hecho cada vector gradiente ∇Fk(a) es la k-ésima fila de la matriz jacobiana de F en a. Pues bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la divergencia del campo F en el punto a, y se denota por divF(a). Así pues, se tendrá:
Una divergencia elevada indica que en esa zona el campo se está "abriendo" como los rayos de luz que emergen de una fuente puntual. Una divergencia nula indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo, aunque el tubo sea curvo y todo el flujo esté rotando uniformemente.
Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω ⊆ R n y consideremos sus coordenadas F= (F1,F2,...,Fn). Supongamos que F es diferenciable en un punto a ∈ Ω, lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares Fk, con k = 1,2,...,n, sean diferenciables en el punto a. De hecho cada vector gradiente ∇Fk(a) es la k-ésima fila de la matriz jacobiana de F en a. Pues bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la divergencia del campo F en el punto a, y se denota por divF(a). Así pues, se tendrá:
Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de Ω tenemos una función
divF : Ω → R que en cada punto x ∈ Ω toma el valor divF(x) de la divergencia en dicho
punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre funciones, válida en todo punto de Ω:
Para un campo vectorial plano (x,y) 7→ F(x,y) =
P(x,y),Q(x,y)
, que sea diferenciable
en un punto (x0,y0), tendremos:
Cuando F sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R
2 podremos escribir:
Análogamente, si F = Pi + Qj + Rk es un campo vectorial en el espacio, diferenciable
en un punto (x0,y0,z0), tendremos:
y cuando F sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R
3 podremos escribir
Comentarios
Publicar un comentario